地热水开发采灌井热突破距离计算影响因素研究——以雄安新区为例
doi: 10.19762/j.cnki.dizhixuebao.2023087
戴明刚1,2,3,4,5
1. 中国石化集团新星石油有限责任公司，北京， 100083
2. 中石化新星（北京）新能源有限公司，北京， 102206
3. 中石化（北京）新能源技术研究院，北京， 102206
4. 国家地热能源开发利用研究及应用技术推广中心，北京， 100083
5. 中国石化地热资源开发利用重点实验室, 北京， 100083
基金项目: 本文为国家重点研发计划“深地资源勘查开采”专项项目（编号2018YFC0604300） ； 中国石化集团公司科技项目（编号JR22011）联合资助的成果
Analysis on influencing factors for calculation of thermal breakthrough spacing between pumping well and recharging well: A case study in Xiong'an New Area
DAI Minggang1,2,3,4,5
1. Sinopec Star Petroleum Co.Ltd., Beijing 100083 , China
2. Sinopec Star (Beijing) New Energy Co., Ltd, Beijing 102206 , China
3. Sinopec (Beijing) New Energy Technology Research Institute, Beijing 102206 , China
4. China National Center for Geothermal Energy Development Research and Applied Technology Promotion, Beijing 100083 , China
5. Sinopec Key Laboratory of Geothermal Resource Development and Utilization, Beijing 100083 , China
摘要
为了拓展Gringarten采灌井热突破安全距离计算公式的适用范围，使该公式计算结果有实用意义，在分析公式特征基础上化简该公式，分类研究计算了表征热储非均质性的热储有效厚度、孔隙度、渗透率等地质参数对简化公式结果的影响差异，并在雄安新区开展初步应用。结果表明：简化公式简洁易算，在热储有效厚度大于90 m或采灌时间小于25生产年时，计算结果与原公式相比差异一般小于2%，最大小于13%；影响结果精度最大参数为热储有效厚度，在公式计算热突破距离结果有意义范围内，即结果相对误差不超过20%时，有效孔隙度因素造成误差一般小于1.4%，少数极端条件下不超过6%，其余误差由热储有效厚度因素造成，变化相同的倍数，热储有效厚度对热突破井距值的影响比有效孔隙度值的影响大；渗透率的影响蕴涵在有效孔隙度影响中；热储其他地质因素是更次要因素。一般可选用平均热储有效厚度、平均孔隙度作为公式计算参数。在近距离内存在多井情况下，考虑干扰井影响后再等效为对井模型计算，可显著降低误差。在雄安热储有效厚度大都在40~300 m之间的情况下，要保证千年大计，回灌井单井流量长期不大于80 m3/h且采灌井距最好大于1300 m。采灌井热突破距离计算公式，除在热储条件为均质地区应用有效外，还在采灌井处热储有效厚度比在0.5~2之间的非均质地区具备实用价值，可以在雄安新区及其他符合该条件的地热水规模化开发地区，应用该公式研究井网部署，提供技术参数建议。
Abstract
It is more important to expand the applicability of the Gringarten formula for calculating the safe spacing to prevent thermal breakthrough between pumping and recharging wells, and to ensure the practical utility of the formula's results. Initially, the formula was simplified by analyzing its characteristics, and the differences in the influence of geological parameters such as the effective thickness, porosity, and permeability of the thermal reservoir, which reflect its heterogeneity, on the simplified formula's results were studied. Subsequently, a preliminary application of the formula was carried out in the Xiong'an New Area. The results show that the simplified formula is concise and easy to calculate. When the effective thickness of the thermal reservoir is greater than 90 m or the production time is less than 25 years, the calculation results difference between the simplified formula and the original formula is generally less than 2%, and the maximum difference is less than 13%. Effective thickness emerged as the most influential parameter affecting accuracy. Within the formula's practical range, defined as a relative error below 20%, the error caused by the effective porosity factor remained below 1.4%, reaching a maximum of 6% only under extreme conditions. Remaining errors are attributed to the effective thickness factor of the thermal reservoir. Changes in the effective thickness of the thermal reservoir have a more pronounced impact on the thermal breakthrough well spacing value than equivalent changes in effective porosity. The influence of permeability is encapsulated within that of effective porosity. Other geological factors of the thermal reservoir are of secondary importance. Generally, the average effective thickness and average porosity of the thermal reservoir can be selected as parameters for the formula's calculations. In scenarios involving multiple wells in close proximity, accounting for the influence of interfering wells and then equating them to the well model calculation can significantly reduce errors. In the Xiong'an New Area, where the effective thickness of the thermal reservoir predominantly ranges between 40 m and 300 m, it is essential to ensure that the long-term flow rate of a single recharge well does not exceed 80 m3/h, and the spacing between pumping and recharging wells should preferably be more than 1300 m. The simplified formula for calculating the thermal breakthrough well spacing is not only effective in areas with homogeneous thermal reservoir conditions but also holds practical value in heterogeneous areas where the effective thickness ratio of the thermal reservoir at pumping and recharging wells is between 0.5 and 2. This formula can be applied to study well network deployment and provide technical parameter suggestions in the Xiong'an New Area and other areas that meet the conditions for large-scale development of geothermal water.
地热能是一种清洁能源，规模化利用地热能是实现2060年前“碳中和”目标的重要技术途径之一。目前水热型地热是最主要的利用类型，该类型地热主要以抽采地热水的形式利用。地热水在被提取热能利用后，回灌到热储层以维持热储压力，防止热储地层稳定性受到破坏诱发地震，同时避免废弃地热水直接排放引起环境污染和生态问题。由于地热水回灌地质条件及回灌参数的差异，导致地热开发采灌井热突破距离不同，要求地热开发时选择合适的采灌井网。
当前规模化开发地热田布置地热井网的场景不多，通常运用来自石油行业的经验研究地热开发合适采灌井距，主要使用方法为三维数值模拟计算，运用Tough2、COMSOL Multiphysics、Feflow、Petrel、OpenGeoSys等大型软件通过建立三维地质模型求解耦合的偏微分方程来进行采灌井模拟（O' Sullivan et al.，2001；王贵玲，2002；Mannington，2004；Wang Xinyi et al.，2005；Bangerth et al.，2006；Axelsson，2010；Blöcher et al.，2010；Kaya et al.，2011；Mottaghy et al.，2011； Li Lianlin and Jafarpour，2012; Kolditz et al.，2012；Lei Haiyan and Zhu Jialin，2013；陈必光，2014；Smit et al.，2014; Wang Shihao et al.，2016；Zhang Keni et al.，2016；阮传侠等，2017；Kong Yanlong et al.，2017；Major，2018；庞菊梅，2018；柯婷婷等，2019；胡秋韵等，2020；黄永辉等，2023），由于每个模拟需要长期历史生产数据先决条件较多、涉及数万到数百万个网格计算过程复杂计算量较大，实际上模拟的地质模型仍然比较简单，模拟复杂地质模型仍然存在挑战。地热开发实践中偶有应用理论计算近似公式（Gringarten et al.，1975），该法不需要大型软件，仅基于均匀对井地质模型推导计算，方法相对简单，戴明刚等（2019b）用于计算井间热突破距离并评估雄安地区的可采地热资源。不过该公式是基于均质热储推导出的，实际中的热储大部分处于不同程度的非均质情形，热储的非均质性可能会影响热传输过程，进而影响热突破距离（Shook 2001；Smit et al.，2014），需要评估影响该公式结果的因素，拓展适用范围。
本文拟在Gringarten 采灌井热突破距离计算公式基础上，分析公式特征进一步简化该公式，研究表征热储非均质性的热储厚度、孔隙度、渗透率等参数对该公式结果的敏感性及影响差异，评估最大可能误差，探索该公式结果有实用意义的范围，在雄安新区开展应用评估效果，并提出达成千年大计的地热开发技术参数建议。
1 地热采灌井热突破距离计算公式及简化
Gringarten 热突破采灌井距理论计算近似公式成立的模型条件为：① 含水层水平且等厚为h，上覆盖层和下伏岩层不透水，含水层和盖层及基岩之间没有热对流；② 含水层初始温度和盖层及下伏临近岩层温度相同为Tr，盖层和含水层下伏岩层温度恒定，忽略含水层水平方向热导率，含水层中水和岩石瞬间发生热平衡；③ 回灌流量稳定为q，回灌水温稳定为Tw。按现在单位表示热突破距离公式为：
D=2⋅q⋅Δt/φ+(1-φ)ρrCrρwCw⋅h+φ+(1-φ)ρrCrρwCw2⋅h2+2krρrCrρwCw2⋅Δt1/21/2
(1)
式中，D为热突破距离（m）；q为回灌井流量（m3/h）；Δt为生产回灌时间，一般给定为年（a），计算时需根据与之相乘量所含时间单位对应换算成小时（h）或秒（s）；h为热储有效厚度（即含水层厚度）（m）；φ为孔隙度；ρr为紧贴热储顶板盖层岩石密度（kg/m3），实际可近似为热储密度；Cr为紧贴热储顶板盖层岩石比热（J/（kg·℃）），实际可近似为热储比热；ρw为回灌水密度（kg/m3）；Cw为回灌水比热（J/（kg·℃））；kr为紧贴热储顶板盖层岩石热导率（W/（m·℃）），实际可近似为热储热导率。
先对该式进行化简，令：
f=ρrCrρwCw
(2)
Y=krρrCrρwCw2
(3)
U=φ+(1-φ)ρrCrρwCw⋅h=[φ+(1-φ)⋅f]⋅h=[f+(1-f)⋅φ]⋅h
(4)
则有：
D=2⋅q⋅ΔtU+U2+2Y⋅Δt1/2
(5)
不妨，令α=12⋅U2+2Y⋅Δt-U，则0<α<0.5Y⋅Δt，有：
D=q⋅ΔtU+α1/2
(6)
根据（4）式，令：
F=f+(1-f)⋅φ
(7)
则有：
U=F⋅h
(8)
用常见的地热水参数地热回灌水密度取997 kg/m3、比热取4180 J/（kg·℃），其他参数根据文献（Schmoker et al.，1982；姚秀云等，1989；邱楠生等，2004；Ehrenberg et al.，2005；马永生等，2005，2011，2017，2019；Keramati et al.，2006；洪海涛等，2012；中国石化集团新星石油有限责任公司，2015❶；威廉，2017；徐明等，2017；雷晓东，2018；戴明刚等，2019a，2019b，2020b，2023；宋小庆等，2019；石油云，2021；朱传庆等，2022；李潇，2023）统计得表1，可计算出常见岩石Y值、F值（图1）、U值一般范围及常见近似值（表2）。
从图1可见，统计各类岩石F值共同构成的范围基本在0.47~0.71之间，具体某个地区的岩石F值应是分布在该区域范围的某个小于1的常数。
图1各类岩石F值一般范围（红点为最常见值）
Fig.1General range of F values for various types of rocks (red dots are the most common values)
表1各类岩石物性参数范围与常见值
Table1Range and common values of physical parameters of various rocks
表2各类岩石常见Y值、f值、F值、U值表达式及常见U值近似值
Table2Expressions for Y, f, F and U values of various types of rocks with common U value approximations
根据地质资料热储厚度一般从百米到上千米不等，其中热储有效厚度h主要在40~500 m之间。
为了化简公式（1），笔者用公式（9）评估分析α/U值对热突破最大相对影响值∆D%的大小。从该公式可知，α/U值越大，则热突破最大相对影响值∆D%越大；当α/U≤0.21时，∆D%≤10%；当α/U≤0.44时，∆D%≤20%。特别注意的是，本文1生产年等于120天，合2880 h。
ΔD%=q⋅ΔtU1/2-q⋅ΔtU+α1/2/q⋅ΔtU+α1/2=1+αU1/2-1
(9)
以白云岩为例，针对白云岩热导率不同且生产回灌时间不同时，以U=（0.526+0.474φ）·h式其中h取90 m、φ取5%计算α/U值见表3。白云岩热储生产25年最大α/U值约为0.05，对应∆D%为2.5%；生产300年最大α/U值约为0.41，对应∆D%为18.7%；这说明采灌不超过300年，∆D%一般不超过10%，最大不超过20%；热导率增大，α/U值是不断增大的，相应的∆D%也增大。白云岩热储热导率取5.28、孔隙度分别取φ=0.1%、φ=5%、φ=30%，热储有效厚度分别取h=30 m、90 m、100 m、120 m、180 m时，分别计算25、300生产年时对热突破安全距离造成的最大相对影响值∆D%，结果见表4。
表3不同热导率时白云岩Y值及不同生产时间时α/U值（h=90 m、φ=5%时）
Table3Y values of dolomite under different thermal conductivity and α/U values under different production time (h=90 m, φ=5%)
表4白云岩不同生产时间α值在不同孔隙度时热突破距离最大相对影响值（kr=5.28 W/（m·℃）时）
Table4The maximum relative impact value of thermal breakthrough distance for different α value and different production times and porosity of dolomite (kr=5.28 W/ (m·℃) )
从表4中可知，热储有效厚度越薄、孔隙度越小、回灌时间越长，这3个因素造成α/U值就越大，造成的热突破井距相对影响值也越大。在热储有效厚度大于90 m情况下生产300年，α/U值造成的热突破安全距离相对影响不超过15%。
即在热储有效厚度大于90 m或采灌时间小于25生产年时，可以在计算热突破采灌井距D时忽略α值不计，从而化简原公式（1）得到公式（10）。
D≈q⋅ΔtU1/2=q⋅Δt[(1-f)⋅φ+f]⋅h1/2
(10)
公式（10）的本质是公式（1）中的kr取0得到的结果，也即热储与顶板、底板之间没有热传导。实际我们知道，热储与上下顶底板之间是有热传导的，所以，在热储有效厚度低于90 m或采灌时间超过300生产年时，还是应以原公式（1）计算D值为宜。另外，公式（10）计算的热突破采灌井距D值，是Gringarten（1978）提出热突破井距近似公式D=3π⋅q⋅Δt[（1-f）⋅φ+f]⋅h1/2计算D值的 π3≈1.02倍，是Bodvarsson（1972）提出热突破井距近似公式D=1π⋅q⋅Δt[（1-f）⋅φ+f]⋅h1/2计算D值的π≈1.77倍。
相应的，给定井距、回灌强度下的热突破时间公式简化为：
Δt≈D2q⋅U=D2q⋅[(1-f)⋅φ+f]⋅h
(11)
给定井距、回灌时间下的最大回灌强度公式简化为：
q≈D2Δt⋅U=D2Δt⋅[(1-f)⋅φ+f]⋅h
(12)
公式（1）~（12）都以均值模型为基础，实际地质情况绝大多数为非均质情况下，要应用上述公式，必须分析影响热突破采灌井距公式结果的因素，根据具体实际作适当处理，并评估可能的最大误差。
2 影响热突破采灌井距计算结果的因素分析
影响上述公式结果的参数主要有热储有效厚度、回灌量、回灌时间、孔隙度、岩石密度、岩石比热、回灌水密度、回灌水比热、热导率等参数，而表征储层非均质性的参数主要是有效厚度、孔隙度、渗透率三个物性参数，本文这里重点讨论热储有效厚度、孔隙度、渗透率、回灌量这4个主要参数对上述公式计算结果的影响，评估在非均质热储条件下应用上述公式各参数对结果影响的最大误差。
2.1 热储有效厚度
热储有效厚度只是热储厚度的一部分，确定储层有效厚度主要通过测井资料（周文，1988；赵喜元等，2006）。公式（1）~（12）的应用基础要求采灌井间热储有效厚度一致，事实上在实际中很少能完全满足该条件，不过当短距离内热储有效厚度变化不大时可认为近似满足条件。
当短距离内热储有效厚度有一定变化幅度时，设采水井处热储有效厚度为h采，回灌井处热储有效厚度为h灌，则计算热储有效厚度可取二者平均值，即平均有效厚度：
h均 =h采 +h灌 /2
(13)
如果把这种采灌井处热储有效厚度不同的情况等效为均质有效厚度（图2），不论是采水井处有效热储厚度薄，还是采水井处有效热储厚度厚，都有热储等效有效厚度：
h等效 =2h采 +h灌 /3
(14)
平均有效厚度值简单易得，在一些特殊场景等效有效厚度等于平均有效厚度。在实际勘探中，采灌井距间真实有效厚度是未知的，可据公式（13）或公式（14）式计算的结果作为真实有效厚度的近似值，本文定义这种近似值与真实值的最大差异Δhm为有效厚度不确定量，它与真实值的比值为有效厚度不确定相对量。设真实值为h，即一般有h×15%≤| Δhm|≤ h×50%（Spivey et al.，2016），在该条件下，回灌井处与采水井处热储有效厚度比在1/3~3之间。实践中绝大多数情况下，一般热储层在距离3 km内的范围内，虽然热储有效厚度会有变化，但是两点之间热储有效厚度变化超过1倍很少见，达到甚至超过3倍更是极少数情况。为了研究由于h的不确定性造成的误差，对比计算了不同 Δhm造成采灌井热突破井距相对差异如图3所示。由图3可知，当其他参数不变，热储有效厚度不确定相对量在-36%~36%之间变化时计算热突破井距，相对于计算结果值的最大相对差异不超过20%；热储有效厚度不确定相对量在-30%~30%之间时，相对于真实值的最大相对差异不超过20% .实际中热储有效厚度真实值是未知的、只知道近似值，要使公式以近似值计算的结果对于井网部署有意义，要求井距计算结果误差不超过20%，即要求热储有效厚度不确定量满足条件 h×（-36%）≤ Δhm≤ h×36%，考虑到还有孔隙度等其他因素的影响，热储有效厚度不确定量最好在h×（-33.3%）≤ Δhm≤ h×33.3%，此时要求相应的回灌井处与采水井处热储有效厚度比在1/2~2之间，可以认为在满足这样的条件下，应用公式（1）~（12）的误差在可接受的范围内。
图2热储等效有效厚度示意图
Fig.2Schematic diagram of equivalent effective thickness of thermal reservoir
图3热突破井距相对差异与热储有效厚度不确定量关系
Fig.3The relationship between the relative difference of thermal breakthrough well spacing and the uncertainty of effective thickness of thermal reservoir
2.2 孔隙度
分析了热储有效厚度对热突破采灌井距的影响，那在相同热储有效厚度下，不同热储孔隙度对热突破采灌井距的影响，本文作了如下计算分析。
常见岩石埋深在500~5000 m时，孔隙度一般在0.01%~35%范围内，其中砂岩孔隙度一般在5%~35%范围内、白云岩孔隙度一般在0.1%~30%范围内、灰岩孔隙度一般在0.1%~30%范围内。还是以白云岩为例，取F=0.526+0.474φ，当热储孔隙度取值从0.5%~25%时计算热突破采灌井距值，与有效孔隙度分别为5%、10%、20%时计算热突破采灌井距值相对差异见表5~7。结果表明，有效孔隙度变化引起的热突破井距变化很小，孔隙度值绝对量增减5%会引起热突破井距变化相对量不超过2%。自然界中很多随机变量的概率分布都可以用正态分布来描述（盛骤等，1989）。如某个具体区域的自然孔隙度呈正态分布，则统计的热储孔隙度数据可以认为绝大部分在孔隙度均值的3个标准差内。设热储孔隙度最小值、最大值分别为0.1%、30%，当平均值5%时、标准差一般不超过1.6%；当平均值10%时、标准差一般不超过3.3%；当平均值20%时、标准差一般不超过5%（图4）。
图4热储孔隙度呈正态分布平均孔隙度为 10%时与标准差示意图
Fig.4Schematic diagram of normal distribution of thermal reservoir porosity with an average porosity of 10% and standard deviation
从表5~7及图4可知：① 平均孔隙度越大，计算的热突破井距越小；② 与平均孔隙度正负差值小于1个标准差的孔隙度值计算热突破井距相对差异一般在2%之内，大多数情况下甚至小于1.4%；③ 均值孔隙度两侧标准差一样的孔隙度与均值孔隙度计算的热突破井距差异，绝对值相等、符号相反，意味着可用平均孔隙度作为热储综合有效孔隙度。
统计和计算较为准确的热储平均孔隙度在现有技术条件下比较容易做到。根据实际经验，统计平均孔隙度绝对误差一般小于1个标准差（鲍云杰等，2019），故同等条件下由于平均孔隙度的统计差异造成的热突破井距计算误差一般小于1.4%，少数极端条件下可超过2%，但不超过6%。
表5热储不同孔隙度与有效孔隙度为5%时热突破采灌井距差异
Table5Differences in thermal breakthrough spacing for pumping well and recharging well between different porosity and the effective porosity of 5% in thermal reservoir
表6热储不同孔隙度与有效孔隙度为10%时热突破采灌井距差异
Table6Differences in thermal breakthrough spacing for pumping well and recharging well between different porosity and the effective porosity of 10% in thermal reservoir
表7热储不同孔隙度与有效孔隙度为20%时热突破采灌井距差异
Table7Differences in thermal breakthrough spacing for pumping well and recharging well between different porosity and the effective porosity of 20% in thermal reservoir
2.3 渗透率
对于本公式来说，热储渗透率并不能直接作用，然而我们知道，某个具体地区的渗透率和孔隙度之间在绝大多数情况下是存在某种相关关系的，因此可以通过考虑二者关系分析渗透率对公式的影响。目前表征渗透率非均质程度的参数主要有突进系数、渗透率级差及变异系数等（吴胜和，2010），本文主要以渗透率突进系数来探讨渗透率与孔隙度关系对公式结果的影响，渗透率级差和变异系数对公式结果的影响应是类似。
渗透率突进系数Tk，其意为储层样本最大渗透率与平均渗透率的比值，Tk＜2时表示非均质程度弱，Tk＞3时反映非均质程度强。
设采灌井区域热储渗透率为K（×10-3 μm2），非均质性最强方向渗透率为Km、最弱为Ki。
2.3.1 孔隙型热储-砂岩
对于孔隙型岩石，如砂岩，其孔隙度与渗透率一般大体呈如下关系：
lg⁡K=aφ+b
(15)
故: φ=1/a⋅lg⁡K-b/a
(16)
式中，a是任意研究区域内岩石物性统计数据范围内不为0任意实数、b是统计数据范围内任意实数。以某区为例在统计数据范围内（Ehrenberg et al.，2005）任取 a=7.143且b=0.571，有φ=0.14·lgK-0.08，从表2中取砂岩F=0.548+0.452φ =0.51184+0.06328·lgK。取砂岩平均渗透率K=300×10-3 μm2，热突破距离为D，有突进系数及该系数下计算热突破井距与平均渗透率计算热突破井距差异见表8、图5。
实际中，砂岩渗透率突进系数极少超过7的，因此，实际热突破井距实际值相对计算值绝对值极少超过4.4%；在采灌井距通常500~600 m、最多不超过3000 m的这么短距离范围内，突进系数变化极少超过3，意味着热突破井距相对差异一般不超过2.2%。
如果实践中已知采灌井距间热储的突进系数和平均渗透率，可以用回归拟合计算不同渗透率突进系数对应的热突破井距Dk，如本例中可用 Dk=[-0.01917ln（Tk）+0.9995]×D拟合（拟合相关系数0.9998），D为平均渗透率计算的热突破井距。考虑到现实通常采灌井距小于1000 m，这么短距离内突进系数变化很小，这种做法提高热突破距离准确度意义很有限。
2.3.2 裂缝性热储-碳酸盐岩
对于裂缝性热储，其孔隙度与渗透率一般并没有如孔隙型 lgK=aφ+b这种关系，裂缝性热储其渗透率呈如下关系：
K=n⋅b3⋅e/(12H)
(17)
φ=n⋅b/H
(18)
式中，n为热储裂缝条数；b为裂缝平均有效宽度（m）； e为裂缝与流动方向夹角余弦的平方，井的位置在某地一旦固定，该值范围可视为大于0且小于等于1的常数；H为热储厚度（m）。
表8孔隙性热储不同渗透率突进系数与平均渗透率K=300×10-3 μm2时热突破井距差异
Table8Differences in thermal breakthrough well spacing for porous thermal reservoirs with different permeability breakthrough coefficients and average permeability of 300×10-3 μm2
图5孔隙型热储不同渗透率突进系数计算的热突破井距
Fig.5Calculated thermal breakthrough well spacing with different permeability breakthrough coefficients for porous thermal reservoirs
故: H=b3⋅e/(12K)
(19)
设真实热储模型的平均渗透率为K均=K=n·b3·e/（12H），一般裂缝性热储层最大孔隙度φm≤30%，故真实热储模型平均孔隙度φ均=φ=n·b/H＜30%。
设假想热储模型由真实热储模型的最大渗透率为Km= nm·bm3·e/（12H）和最大孔隙度φm= nm·bm/H均匀构成，也即某个突进系数下的均质模型。对比真实模型和假想模型有：
Km=Tk·K均= Tk·n·b3·e/（12H），即：nm·bm3= Tk·n·b3
（1）bm=b时，有nm = Tk·n，故φm= nm·bm/H= Tk·n·b/H≤30%，即有：
φm=Tk⋅φ均 ⩽30%
(20)
φ均 <0.3/Tk
(21)
1<Tk<0.3/φ均
(22)
以雄安为例，热储白云岩取F=0.526+0.474φ，其实际平均孔隙度φ均实=3.39%、实际最大孔隙度φm实=22.4%。根据实际值计算的Tk实=6.6，由此用式（20）可以评估不同突进系数下的孔隙度，利用公式（10）计算不同突进系数对应孔隙度下热突破采灌井距与实际平均孔隙度下的比值，此时孔隙度与渗透率突进系数呈线性关系（表9）。
（2） nm = n时，bm3=Tk·b3，有bm=Tk1/3·b， φm= nm·bm/H= n·Tk1/3·b/H，即：
φm=Tk1/3⋅n⋅b/H=Tk1/3⋅φ均 <0.3
(23)
φ均 <0.3/Tk1/3
(24)
1<Tk<0.33/φ均 3=0.027/φ均 3
(25)
以雄安为例，F=0.526+0.474φ，实际φ均=3.39%、φm=22.4%，以实际φm和φ均可计算实际最大Tk=288，则理论平均孔隙度φ均理＜4.5%，实际平均孔隙度φ均=3.39%＜φ均理=4.5%满足条件，故在该种情况下，Tk取值区间可以取为[1，288]的实数，由此可以估计不同突进系数下的孔隙度，利用公式（10）计算不同突进系数孔隙度下热突破采灌井距与实际平均孔隙度下的比值，此时孔隙度与渗透率突进系数的立方根呈线性关系（表10）。
对于裂缝性热储，其非均质综合表现的渗透率、孔隙度，仍然是热储各种大小不同渗透率、孔隙度的综合。
在雄安，最大Tk不论是在裂缝宽度不变时6.6，还是在裂缝条数不变时288，计算该突进系数下孔隙度对应的热突破采灌井距与平均孔隙度计算对应的热突破采灌井距差异，只与实际最大孔隙度与平均孔隙度的差异相关。在裂缝宽度不变时，突进系数不超过2，即平均孔隙度3.39%与比其大3个标准差的孔隙度计算时，热突破采灌井距相差不超过1.5%、平均孔隙度6.8%与比其差3个标准差的孔隙度计算时相差不超过2.8%；裂缝条数不变时，突进系数不超过10，平均孔隙度3.39%时，热突破采灌井距相差不超过1.7%，高于平均渗透率和低于平均渗透率的热储综合效应抵消了大部分突进系数对热储的影响。渗透率突进系数的变化，绝大部分都在孔隙度变化的范围约束之内；另一方面，在3000~500 m的短距离内，渗透率突进系数如平均孔隙度一样，相对变化一般较小。
表9裂缝性热储不同渗透率突进系数在平均孔隙度3.39%、6.8%时热突破井距差异（b不变）
Table9Differences in thermal breakthrough well spacing with different permeability breakthrough coefficients between average porosity of 3.39% and 6.8% for fractured thermal reservoirs (b remains unchanged)
表10裂缝性热储不同渗透率突进系数与平均孔隙度为3.39%时热突破井距差异（n不变）
Table10Differences in thermal breakthrough well spacing with different permeability breakthrough coefficients at average porosity of 3.39% for fractured thermal reservoirs (n remains unchanged)
如果把渗透率突进系数换成渗透率级差或其他非均质参数，一样有类似结论。简单地说，热储不同有效厚度或不同孔隙度时，随着渗透率突进系数或级差的增加，热突破距离增加幅度基本一致，因为它们的变化在热储孔隙度变化约束的范围之内，在短距离内，热突破距离差异值一般小于1.4%，少数极端条件下略大但不超过6%。
2.4 回灌水量与干扰井群
对本文研究的采灌井热突破公式（1）、（10）及它们的变形公式，回灌水量要求保持稳定。如果近距离内有多个采灌水井，可等效为一对采灌井，这对采灌井中采灌等效水量须考虑干扰水量。
当多个采灌井存在且井间距小于影响半径时，彼此间的降深和流量会发生干扰。当稳定抽水时，可用任意布置的干扰井群承压水降深叠加公式计算总降深（陈崇希等，2011）。
干扰井群对各采水井产生的降深为：
Δz=∑j=1nw Δzj=∑j=1nw qj2π⋅Td⋅ln⁡Rjrj
(26)
q扰 =Td⋅Δz0.3661gRrw
(27)
然后可根据式（27）计算干扰水量。式（26）、（27）中，q扰、qj分别为总干扰采灌流量（m3/d）、各单井采灌流量（m3/d），灌水取负值；Td为导水系数（m2/d），按 Td=K渗·h 计算，K渗为渗透系数（m/d）；h为热储含水层厚度（m）；Δz、Δzj分别为总干扰降深和单井干扰水位降深（m）；R为等效对井井间距的一半（m）；Rj为干扰井影响半径（m）；rj、rw分别为干扰井和目标采水井的井筒半径（m）；nw为干扰井总数。
3 雄安应用实例分析
分别在雄安新区容城区块和雄县区块（戴明刚等，2019a，2019b，2020a，2023）各取一例采灌井应用（图6），计算它们的热突破井距，本文以采水井水温下降2.5℃ 为发生热突破标准，评估计算效果。
表11雄安新区全区统一基本参数
Table11Unified basic parameters of Xiong'an New Area
3.1 容城区块采灌井的应用
容城区块地质上位于渤海湾盆地冀中坳陷容城凸起，采灌井相对位置如图6b所示，热储为中元古界蓟县系雾迷山组白云岩，其基本参数如表12所示，井间有效热储厚度分别取平均值和按公式（14）取值，对其分别应用公式（1）、公式（10）计算采灌井热突破距离，相关结果对比见表13。结果表明：本区同等热储有效厚度场景下，公式（10）与公式（1）计算结果相对差异小于0.5%，说明在采灌时间不超过25生产年时，公式（10）完全可以替代原始公式（1）进行计算，简单方便。
图6雄安新区热突破采灌井井底相对位置示意图
Fig.6Schematic diagram of the relative position of the bottom of pumping and recharging wells with the thermal breakthrough in Xiong'an New Area
（a）—两区块位置示意图（据戴明刚等，2019a修改）；（b）—容城凸起容城区块采灌井示意图；（c）—牛驼镇凸起雄县区块采灌井示意图
(a) —schematic diagram of the location of the two blocks（after Dai Minggang et al., 2019a）; (b) —schematic diagram of pumping and recharging wells in Rongcheng block of Rongcheng rise; (c) —schematic diagram of pumping and recharging wells in Xiongxian block of Niutuozhen rise
公式（10）、公式（1）计算结果与实际值相比，最大相对误差不超过4.8%，说明公式（10）、公式（1）是具备实用价值的。
表12雄安新区容城区块采灌井参数
Table12Parameters of pumping and recharging wells in Rongcheng block of Xiong'an New Area
表13雄安新区容城区块采灌井热突破井距计算结果
Table13Calculation results of thermal breakthrough well spacing in Rongcheng block of Xiong'an New Area
在同一公式计算的场景下，热储平均有效厚度和等效有效厚度计算的结果略有差异，在本例中热储等效厚度计算结果相对误差更小，这是由于采水井的有效热储厚度比回灌井的大；如果两者热储有效厚度大小调换，热储等效厚度计算为39 m，相应的热突破井距计算结果224 m比平均厚度计算结果220 m偏大；如果采水井、回灌井热储有效厚度一样，说明二者间厚度均质，则平均值等于等效值，相应结果也一致。
3.2 雄县区块采灌井的应用
雄县区块地质上位于渤海湾盆地冀中坳陷牛驼镇凸起，采灌井相对位置如图6c所示，热储为中元古界蓟县系雾迷山组白云岩，采灌井参数如表14所示，其中等效对井间平均有效热储厚度取目标对井平均厚度时为92.5 m、取4口井总平均有效热储厚度时为89.5 m，按公式（14）计算对井等效取值为92.2 m，对其分别应用公式（10）计算采灌井热突破距离，相关结果对比见表15。
表14雄安新区雄县区块采灌井参数
Table14Parameters of pumping and recharging wells in Xiongxian block of Xiong'an New Area
表15雄安新区雄县区块采灌井热突破井距计算结果与实际井距对比
Table15Calculation results of thermal breakthrough well spacing in Xiongxian block of Xiong'an New Area
计算表明，考虑干扰井情况计算的井距大于实际井距，且计算结果与实际情况吻合程度高，最大相对误差不超过8.9%；不考虑干扰井情况计算的井距小于实际井距，计算结果与实际井距相差较大，相对误差绝对值在20%左右。井间热储有效厚度变化3.2%，相对误差变化1%~2.8%。
有效厚度在考虑干扰井时取目标对井平均有效厚度和等效有效厚度时，误差相对小；取相关四口井总平均有效厚度时，误差相对略大。不考虑干扰井时，取相关四口井总平均有效厚度时，误差相对略小；取目标对井平均有效厚度和等效平均有效厚度时，误差相对略大。
如果平均孔隙度取12%，平均有效厚度取92.5 m时，考虑和不考虑干扰井用公式（11）计算井距分别为385 m、289 m，相对误差分别为3.7%、22%；平均有效孔隙度绝对量变化6%，相对误差变化2.4%~2%。故对于多井采灌的场景，必须考虑多井干扰问题。
有了热储非均质性参数对热突破井距计算影响的认识，可用该公式计算热突破安全距离，根据热储平均有效厚度的不同，分块计算评估当地地热资源开采量，结合能源利用需求设计井网。
在雄安新区，如果回灌量分别为q=80、95、110、135、165 m3/h，有效热储厚度分别为40 m、92 m、120 m、180 m、360 m、500 m，采灌时间分别为30、50、80、100、150、200、500、1000生产年，平均孔隙度取6.8%，则有结果见图7。
有效孔隙度6.8%、回灌量为80~165 m3/h、生产100年的计算结果表明：热储有效厚度在40~360 m间时，热突破安全距离多在350~1400 m间；热储有效厚度在360~500 m间时，热突破安全距离多在280~500 m间。如要安全生产1000年，在热储有效厚度40~360 m时，采灌井距要保持在1300~3200 m之间。
图7热储不同采灌时间在不同有效厚度时热突破井距
Fig.7Thermal breakthrough well spacing at different thermal reservoir effective thicknesses for different production times
（a）—热储有效厚度40 m；（b）—热储有效厚度92 m；（c）—热储有效厚度120 m；（d）—热储有效厚度180 m；（e）—热储有效厚度360 m；（f）—热储有效厚度500 m
(a) —the effective thickness of thermal reservoir is 40 m; (b) —the effective thickness of the thermal reservoir is 92 m; (c) —the effective thickness of the thermal reservoir is 120 m; (d) —the effective thickness of thermal reservoir is 180 m; (e) —the effective thickness of ethermal reservoir is 360 m; (f) —effective thickness of thermal reservoir is 500 m
4 讨论
前述的热储非均质性参数对热突破井距计算的最大影响，也可以用采灌井热突破井距不确定相对量（即采灌井距对有效热储厚度和孔隙度的全微分与采灌井距比值）的最大绝对值dDDm评估：
dDDm≈12(φ+f/(1-f))⋅Δφm+12h⋅Δhm=1/2φ+f/(1-f)⋅Δφm+1/2h⋅Δhm
(28)
式中，岩石平均孔隙度φ，不同地区不同岩性不一样，对某个具体地区某种岩性是个具体的值； Δφm是统计的平均孔隙度最大不确定量（即最大误差），实践中一般不超过1%、最大不超过3%，为研究最大影响可分别假定取3%、9%；h为有效热储厚度；Δhm为热储有效厚度不确定量，要使公式（10）计算的结果有参考意义，一般要求Δhm ≤ h/3；f/（1-f）对某个具体地区某种岩性是个在1附近的常数值；式中右边第1项为孔隙度因素对热突破井距不确定相对量的最大影响量，第2项为热储有效厚度因素对热突破井距不确定相对量的最大影响量。白云岩计算结果见表16和图9a，灰岩和砂岩计算结果见图9b、c。
由图9和表16可以看出，不论岩性是砂岩、白云岩还是灰岩，也不论平均有效孔隙度是什么，同等条件下，有效孔隙度因素对热突破井距最大影响一般不超过1.3%，极端情况下不超过3.9%；而Δhm变化也即有效厚度因素才会造成明显差异。如白云岩有效孔隙度不论是3%还是20%，在Δφ为3%，Δhm从h/3变为h/10时，热突破采灌井距不确定相对量dDDm从约18%降为约6.3%，这其中孔隙度因素不超过1.3%，即dDDm主要由有效厚度不确定量占主导；有效孔隙度从6%变为20%，dDDm变化不超过0.1%.只有当Δh趋于0，即采灌井间极其接近均质厚度，有效孔隙度因素才是重要因素，但此时井距不确定相对量显著变小，在上述雄安容城凸起例子中，|Δhm/h|≤3.7%趋于0，设Δφm=3%，则井距不确定相对量dDDm为3.2%。热储岩性对公式计算结果不确定相对量影响微乎其微，也即该公式有较广泛的热储适用性。
表16白云岩热储有效厚度与平均孔隙度对热突破井距影响量
Table16Relative differences in thermal breakthrough well spacing between effective thermal reservoir thickness and average porosity of dolomite
对非均质热储，关键是选用合理的有效热储厚度值，到底是选用算术平均值还是等效厚度值，要根据地质特征和资料掌握程度选用，在特殊地层构造条件下，二者可以相等。一般情况下为便于计算选用算术平均值为佳。在采灌井间热储有效厚度为非均质的场景下，如果Δhm≤h/3，这也是保证公式（10）、公式（1）及其变形公式计算结果有实际参考意义的临界条件，此时，白云岩计算热突破井距造成最大差异一般不超过17.7%；若Δhm≤h/6，白云岩计算热突破井距造成最大差异一般不超过9.6%；若Δhm≤h/10，白云岩计算热突破井距造成最大差异一般不超过6.3%。
对非均质热储有效孔隙度的选用，也要尽可能准确。若热储厚度一定、平均孔隙度增减变化不超过15%，引起白云岩热突破井距结果相对变化一般在正负6%以内，最大不超过正负8.9%，实际由于现代测量统计技术造成的孔隙度误差绝对值很少超过3%，导致有效孔隙度不确定因素在井距不确定量中很少超过1.4%。
图8热储不同有效厚度分别采灌500年、1000年时热突破井距
Fig.8Thermal breakthrough well spacing for different thermal reservoir effective thicknesses after 500 and 1000 years
（a）—采灌500年;（b）—采灌1000年
(a) —production 500 years; (b) —production 1000 years
图9常见热储岩石|dD/D|m与有效孔隙度及有效厚度不确定量关系图
Fig.9The relationship between the |dD/D|m value and effective porosity with effective thickness in common thermal reservoir rocks
（a）—白云岩；（b）—灰岩；（c）—砂岩
(a) —dolomite; (b) —limestone; (c) —sandstone
对公式（1）和（10），影响因素可分为人为因素和地质因素。回灌强度和回灌时间是人为因素，热储有效厚度、有效孔隙度、渗透率、岩石密度、岩石比热、岩石热传导系数、水密度、水比热等因素是地质因素。在地质因素中，热储有效厚度对热突破距离有最大影响，其次是有效孔隙度；变化相同的倍数，热储有效厚度值对热突破井距值的影响比平均孔隙度值的影响大。渗透率的影响蕴涵在有效孔隙度影响中，从前文可知道，一般渗透率非均质性影响不论是以突进系数还是以级差表征，其对计算热突破井距的差异很少超过7%，且这种差异包含在孔隙度造成的差异内。其他岩石密度、岩石比热、岩石热传导系数、水密度、水比热等因素是更次要因素。
由此在雄安新区，考虑上述主要因素，在平均孔隙度取6.8%、单井回灌量不超过165 m3/h时，图7、图8计算结果表明在雄安热储有效厚度大部在40~300 m之间的情况下，要保证千年大计，回灌井单井流量长期不要大于80 m3/h且采灌井距最好大于1300 m；既有的采灌井距不符合的井，除了降低单井回灌量外，未来还可通过侧钻或另钻新井加深钻井深度等适宜措施增加采灌井距和含水层厚度，降低热突破井距要求，从而延长采灌系统使用寿命。依据评估结果布置地热井网，如果将来更多更长时间的采灌实践证明我们的采灌井热突破安全距离计算结果偏大，最多造成经济上的不合算；如果计算结果偏小，也可给后人们留下较大的冗余用于纠偏，不致造成不可挽回的环境地质灾害。
5 结论
（1）基于Gringarten采灌井热突破距离公式经过化简得到的简化公式及其变形公式简洁易算，在热储有效厚度大于90 m或采灌生产时间小于25生产年时，计算结果与原公式相比差异一般小于2%、最大差异小于13%；热储有效厚度小于90 m或采灌生产时间大于300生产年时，用原公式计算为宜。
（2）在非均质地质因素中，有效热储厚度对热突破距离有最大影响，其次是有效孔隙度。变化相同的倍数，热储有效厚度对热突破井距值的影响比有效孔隙度值的影响大；渗透率的影响蕴涵在有效孔隙度影响中。其他岩石密度、岩石比热、岩石热传导系数、水密度、水比热等因素是更次要因素。
（3）在采灌井热储有效厚度不同时，可用采灌井处有效厚度与采灌井平均有效厚度的差是否小于平均有效厚度的1/3，作为公式在厚度非均场景下应用的临界条件标准，即文中有效厚度不确定量Δhm≤ h/3，也即回灌井处与采水井处热储有效厚度比在0.5~2之间，公式计算结果误差在20%以内，这样的井距结果才具有实际参考意义，误差中有效厚度不确定性原因占大部分因素，Δhm越小于h/3，公式结果误差越小。
（4）一般选用热储平均有效厚度和平均孔隙度作为计算参数，平均孔隙度统计结果不同，对计算结果误差的影响一般小于1.4%，少数极端条件下不超过6%；当采水井处热储有效厚度比回灌井处薄时，可选用等效有效厚度，此时用等效有效厚度计算结果误差更低。
（5）在近距离内存在多井情况下，考虑干扰井影响后再等效为对井模型计算，可显著降低误差。
（6）采灌井热突破距离计算简化公式，在雄安新区的应用实例，初步证明了公式的有效性，具备实用价值。在雄安，要保证千年大计，回灌井单井流量长期不要大于80 m3/h且采灌井距最好大于1300 m。既有采灌井距不符合的井，除了降低单井回灌量外，还可通过采取适宜措施增加采灌井距和热储有效厚度以显著降低热突破安全距离要求，从而延长采灌井系统使用寿命。
致谢:在本文研究过程中，中石化绿源地热能开发有限公司雷海飞高级工程师、中国石化新星公司周总瑛正高级工程师、杨卫高级工程师，提供了部分资料帮助；各位评审专家及编辑提出了建设性意见。在此一并衷心感谢！
注释
❶中国石化集团新星石油有限责任公司.2015. 水热型地热资源评价方法. 企业标准Q/SH1050011—2015.
图1各类岩石F值一般范围（红点为最常见值）
Fig.1General range of F values for various types of rocks (red dots are the most common values)
图2热储等效有效厚度示意图
Fig.2Schematic diagram of equivalent effective thickness of thermal reservoir
图3热突破井距相对差异与热储有效厚度不确定量关系
Fig.3The relationship between the relative difference of thermal breakthrough well spacing and the uncertainty of effective thickness of thermal reservoir
图4热储孔隙度呈正态分布平均孔隙度为 10%时与标准差示意图
Fig.4Schematic diagram of normal distribution of thermal reservoir porosity with an average porosity of 10% and standard deviation
图5孔隙型热储不同渗透率突进系数计算的热突破井距
Fig.5Calculated thermal breakthrough well spacing with different permeability breakthrough coefficients for porous thermal reservoirs
图6雄安新区热突破采灌井井底相对位置示意图
Fig.6Schematic diagram of the relative position of the bottom of pumping and recharging wells with the thermal breakthrough in Xiong'an New Area
图7热储不同采灌时间在不同有效厚度时热突破井距
Fig.7Thermal breakthrough well spacing at different thermal reservoir effective thicknesses for different production times
图8热储不同有效厚度分别采灌500年、1000年时热突破井距
Fig.8Thermal breakthrough well spacing for different thermal reservoir effective thicknesses after 500 and 1000 years
图9常见热储岩石|dD/D|m与有效孔隙度及有效厚度不确定量关系图
Fig.9The relationship between the |dD/D|m value and effective porosity with effective thickness in common thermal reservoir rocks
表1各类岩石物性参数范围与常见值
Table1Range and common values of physical parameters of various rocks
表2各类岩石常见Y值、f值、F值、U值表达式及常见U值近似值
Table2Expressions for Y, f, F and U values of various types of rocks with common U value approximations
表3不同热导率时白云岩Y值及不同生产时间时α/U值（h=90 m、φ=5%时）
Table3Y values of dolomite under different thermal conductivity and α/U values under different production time (h=90 m, φ=5%)
表4白云岩不同生产时间α值在不同孔隙度时热突破距离最大相对影响值（kr=5.28 W/（m·℃）时）
Table4The maximum relative impact value of thermal breakthrough distance for different α value and different production times and porosity of dolomite (kr=5.28 W/ (m·℃) )
表5热储不同孔隙度与有效孔隙度为5%时热突破采灌井距差异
Table5Differences in thermal breakthrough spacing for pumping well and recharging well between different porosity and the effective porosity of 5% in thermal reservoir
表6热储不同孔隙度与有效孔隙度为10%时热突破采灌井距差异
Table6Differences in thermal breakthrough spacing for pumping well and recharging well between different porosity and the effective porosity of 10% in thermal reservoir
表7热储不同孔隙度与有效孔隙度为20%时热突破采灌井距差异
Table7Differences in thermal breakthrough spacing for pumping well and recharging well between different porosity and the effective porosity of 20% in thermal reservoir
表8孔隙性热储不同渗透率突进系数与平均渗透率K=300×10-3 μm2时热突破井距差异
Table8Differences in thermal breakthrough well spacing for porous thermal reservoirs with different permeability breakthrough coefficients and average permeability of 300×10-3 μm2
表9裂缝性热储不同渗透率突进系数在平均孔隙度3.39%、6.8%时热突破井距差异（b不变）
Table9Differences in thermal breakthrough well spacing with different permeability breakthrough coefficients between average porosity of 3.39% and 6.8% for fractured thermal reservoirs (b remains unchanged)
表10裂缝性热储不同渗透率突进系数与平均孔隙度为3.39%时热突破井距差异（n不变）
Table10Differences in thermal breakthrough well spacing with different permeability breakthrough coefficients at average porosity of 3.39% for fractured thermal reservoirs (n remains unchanged)
表11雄安新区全区统一基本参数
Table11Unified basic parameters of Xiong'an New Area
表12雄安新区容城区块采灌井参数
Table12Parameters of pumping and recharging wells in Rongcheng block of Xiong'an New Area
表13雄安新区容城区块采灌井热突破井距计算结果
Table13Calculation results of thermal breakthrough well spacing in Rongcheng block of Xiong'an New Area
表14雄安新区雄县区块采灌井参数
Table14Parameters of pumping and recharging wells in Xiongxian block of Xiong'an New Area
表15雄安新区雄县区块采灌井热突破井距计算结果与实际井距对比
Table15Calculation results of thermal breakthrough well spacing in Xiongxian block of Xiong'an New Area
表16白云岩热储有效厚度与平均孔隙度对热突破井距影响量
Table16Relative differences in thermal breakthrough well spacing between effective thermal reservoir thickness and average porosity of dolomite
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