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地热资源是能够经济地被人类所利用的地球内部的地热能，是一种储量大、分布广、绿色低碳的可再生清洁能源。地热回灌对于提高地热资源利用率、减少尾水排放和维持热储压力，实现地热资源的可持续利用具有重要作用（冯守涛等，2019; 王贵玲等，2020; 康凤新等，2020，2023; Lin Wenjing et al.，2023）。地下热储开采过程中，开采的地热流体通常通过一定距离外的回灌井进行回灌，由于回灌的地热尾水温度远低于储层温度，回灌必然会造成储层温度的降低（Seibt et al.，2003; Diaz et al.，2016; Obembe et al.，2016）。冷水向热储层的回灌决定了热储中温度场影响区域会以回灌井为中心逐渐增大，冷锋面最终会运移到开采井所在位置，使开采井生产温度降低，影响地热采灌系统的使用寿命（何满潮等，2003; 朱家玲等，2012; Crooijmans et al.，2016; 王贵玲等，2023）。增加生产井和回灌井的井间距，可以最大限度地延长冷锋面到达开采井的时间，而减小采灌井的井间距，有助于维持储层压力（Kim et al.，2015; Poulsen et al.，2015; Quinao et al.，2018）。
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地热对井采灌系统布局和运行参数对热储层内部温度场的演化有重要影响，也是系统能否长时间运行的决定性因素（Axelsson et al.，2005; Darius et al.，2011; Liu Jian et al.，2018）。因此，应适当优化采灌系统布局和采灌参数，以保持储层压力并延长开采井的热突破时间（Kong Yanlong et al.，2017）。Ganguly et al.（2017）提出了一个考虑对流、传导和热损失的三维水-热耦合数值模型，揭示了热储层的渗透性、采灌井间距和回灌温度对地下多孔介质中瞬态热的影响，并提出了合理采灌井间距；Bodvarsson（1972）通过理论分析的方法计算了均质各向同性多孔介质中冷水回灌造成的低温区域范围，并给出了低温区域范围大小与热储层厚度、回灌量和储层热容的关系式；Vogt et al.（2013）通过数值反演和改进的克伦普方法在拉普拉斯域中计算储层取热过程，结果表明热采收率与采灌井间距、影响半径及储层厚度的相关性最高，地温梯度仅对系统运行早期和厚度大的热储层中的热采收率影响显著；Mottaghy et al.（2011）和Sippel et al.（2013）运用数值模拟方法建立了海牙西南区域的热储模型，研究了储层结构、孔隙度和渗透率对开采井热突破的影响；Liu Guihong et al.（2020）研究了群井布井结构与区域生产井热采收率的关系，结果表明集群布局具有更高的地热能热采收率，且开采井与回灌井布设方向应避免与优势渗流通道方向平行。季已辰等（2016）采用交替方向隐式差分法离散非稳态能量方程，提出了考虑地下水渗流和土壤分层的三维水-热耦合温度场模型，并通过对比文献数据验证了模型准确性；张远东等（2006）对不同地下水流速下热储温度场的演化进行了研究，结果表明热储温度场的演化不仅受地下水流速的影响，还与采灌井布设方向密切相关；刘帅等（2021）通过地热井全井段测温研究了砂岩热储温度场变化特征，结果表明回灌初期热对流在热量恢复中占主导作用，而后热对流和热传导对温度场的恢复作用逐渐减弱，回灌井温度恢复减缓；刘志涛等（2019）通过对砂岩热储地热回灌井的全井段温度监测，定性分析了回灌井周边热储温度恢复的热量来源，并进行了一定程度的定量计算，但计算时采用了大量理想假设。以上对回灌条件下热储温度场演变规律和恢复能力进行了广泛的研究，但是数值模型的建立未考虑全井段的温度拟合，对于热储温度恢复的各项热量来源还需要进行全面的定量分析。
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本文通过结合德城区地热田内典型对井采灌系统长期水动力场和地温场的动态变化监测资料，反演馆陶组热储层的水动力学和热物性参数，据此建立对井采灌系统的水-热耦合数值模型，研究冷水回灌引起的热储内温度场的演化规律与趋势，并对现有和拟建对井采灌系统的采灌量和采灌井间距进行优化，讨论回灌冷水温度恢复的热量来源并进行定量计算。
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1 地热田特征
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德州市位于中国山东省西北部，在大地构造单元上属于华北地台（Ⅰ）辽冀台向斜（Ⅱ）临清拗陷（Ⅲ）的次级构造单元德州凹陷（Ⅳ）北部，是处于隆起背景上的断陷盆地。德城区为德州市辖区，是德州市的中心城区。德城区地热田的地层分布由上至下依次为：新近系明华镇组（Nm）、新近系馆陶组（Ng）、古近系东营组（Ed）、古近系沙河街组（Es）、古近系孔店组（Ek）、中生界（Mz）和古生界（Pz）（杨询昌等，2019）。地热资源主要赋存于新近纪和古近纪地层中。德州地热田的热量主要来源于上地幔和深层地壳。新近系馆陶组地层结构为泥岩和砂岩互层，是德城区地热田的开发层段。测井资料表明，地热储层水温为55~57℃，地热梯度3.0~3.4℃/100 m。
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自1997年在德城区施工两眼探采结合井以来，德城区的地热开采井数量和开采量逐年增长，在2017年时区内地热开采井数量达到峰值98眼，开采量达到2.1×107 m3/a。由于未配备回灌井，导致德城区馆陶组热储层水位迅速下降，至2017年非开采期的静水位下降至埋深80 m左右（冯克印等，2023）。因此，2017~2018年全区新施工回灌井44眼并投入使用，未配备回灌井的50眼开采井全部封停。研究区域位置及地热井分布如图1所示。
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2 研究方法
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2.1 竖向非均质地热储层模型
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新近系馆陶组在鲁北地热区广泛分布，其沉积相为古河道带。它伴生的河床相沉积，底部为卵石或粗砂层，向上过渡为砂层或粉砂层，在垂直剖面上，其颗粒大小具有上细下粗的正旋回特征，底部为砂砾岩层，成分以石英和黑色燧石为主（杨询昌等，2019）。在德城区小范围内，新近系馆陶组地层顶底板起伏变化较小，可以视为水平等厚的热储层。馆陶组上段地层主要为泥岩层，含水层渗透性差，一般不作为开采层位。根据德城区内DR1回灌井的综合测井资料，建立对井采灌系统模型，反演德城区馆陶组热储层的竖向地层结构，通过回灌井多年测温数据进行地层参数的识别，并据此建立德城区的区域竖向非均质地热储层模型。
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2.2 水-热耦合模型
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本文运用COMSOL Multiphysics数值模拟软件建立德城区的区域水-热耦合数值模拟模型，模拟地热储层中热水开采和利用后的冷水回灌引起的温度和地下水位的时空演变情况。
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图1 德城区地热井分布图
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Fig.1 Distribution of geothermal wells in Decheng District
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2.2.1 多孔介质渗流
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对于热储含水层，假设含水层完全饱和，饱和压力流可以用Darcy定律来描述：
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式中，u表示Darcy流速（m/s）；K表示热储层的渗透系数（m/s）；表示梯度算子，即在（x，y，z）方向上的全微分；p表示流体压力（Pa）；ρf表示液体的密度；z表示纵坐标（m）。
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流体连续性方程可以表示为：
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式中，φ表示多孔介质的孔隙率；Qm表示质量源项（kg/（m3·s））。
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2.2.2 多孔介质传热
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热储层中的渗流传热过程，可以用多孔介质传热方程来描述：
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式中，（ρCp）eff表示常压有效体积热容，对于多孔介质而言，可以表示为：
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式中，θs表示固体材料的体积分数；θf表示液体体积分数。
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多孔介质的有效导热系数keff计算方式参考式（4）。
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2.2.3 地热井
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圆柱形地热井的半径和井筒面积与储层厚度及范围的比值极大，引入简化的一维地热井模型（Saeid，2013; Wang Guiling et al.，2019）。地热井和储层岩石之间的传热、质量交换通过内部边界进行（Babaei et al.，2019）。供暖用地热井只在每年的冬季供暖期内进行开采和回灌，据此设置分段函数定义开采井与回灌井的流量：
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式中，n和t都表示运行时间，n的单位为年，t的单位为月。
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水动力场和温度场的顶部和底部边界可以应用狄利克雷或诺依曼边界条件，四周边界分别采用透水边界（水动力场）和开放边界（温度场）。
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3 数值模型
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3.1 模型结构
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3.1.1 模型范围
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在水平方向上，由于馆陶组的砂岩热储为沉积盆地的层状热储，断裂构造距离热储水位降落漏斗中心较远，无法作为自然边界，因此以德城区行政边界作为模型的研究区域，区域面积约为231 km2。其中，重点研究区域为示范工程采灌对井DZ-001和DZ-001h所在的区域。
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根据城区大量地热井成井结构资料和测井曲线，在垂直方向上建立深度从950 m到1750 m，共计800 m的垂向深度研究范围。根据实际岩性差异共划分4层不同地层，新近系明化镇组（950~1150 m）、新近系馆陶组上段（1150~1320 m）、新近系馆陶组中下段（1320~1525 m）和古近系东营组（1525~1750 m）。地热井开采目标层为新近系馆陶组中下段含水层（1320~1525 m），共计205 m厚，其他层段采用黏土止水。根据示范工程回灌井成井时的测温曲线和馆陶组中下段热储层的钻孔柱状图（图2），并结合示范工程回灌井2018~2020年全井段测温数据（刘帅等，2021），将馆陶组中下段具体划分为3层含水层和2层泥岩层的互层分布（图3）。模型内含目前仍在运行和已关停的所有地热采灌井，共计142眼。
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图2 德城区示范工程回灌井测温曲线和馆陶组中下段热储层钻孔柱状图
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Fig.2 Temperature logging curves of demonstration project reinjection well and columnar diagram of drilling in upper and lower section of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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3.1.2 初始条件与边界条件
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将研究起始时间定为1997年，此时德城区及其周边的馆陶组地热储层处于未开采状态，整个储层的水头和温度场都处于恒定状态。根据开采井DZ-001完井时的稳定自流水头高度，确定馆陶组热储层的初始水头为+8 m。首先建立以德城区行政边界为模型边界的区域地下水流数值模型，模型边界设置为弱透水边界，拟合得到区域模型的水动力学参数和水动力场动态特征，然后建立区域模型内小范围的示范工程对井水-热耦合模型，对井模型的水动力学边界条件设置为水头边界，边界水头动态变化数据从区域模型中提取。模型的初始温度根据回灌井成井时的实际测温曲线确定（图2）。由于回灌低温冷水的温度场影响范围100年内不会扩展到边界处，故对井水-热耦合模型的热力学边界条件设置为开放边界。
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3.1.3 采灌参数
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供暖用地热井只在每年的冬季供暖期内进行开采和回灌，以2021~2022供暖季每口井的实际采灌量作为后续预测年份的采灌量，其中4眼典型井的流量函数图如图4所示，开采井DZ-001在2016年之前同时用于温泉洗浴，故供暖期外仍有开采量。
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3.1.4 网格划分
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综合考虑计算精度与计算效率之间的平衡，德城区区域地下水流模型的网格划分选择扫掠网格，地热井所在位置及馆陶组中下段进行网格细化。典型示范工程对井采灌系统水-热耦合模型的采灌井处网格进行细化，最大单元尺寸2 m，最大单元增长率1.4（图5）。
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3.2 对井采灌系统优化
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应用建立的示范工程对井采灌系统水-热耦合数值模型，预测采灌井周边区域地温场变化规律与演化趋势。通过调整回灌参数，探究采灌量Q和采灌井间距R对冷水回灌至储层后的水热运移过程的影响，对不同采灌方案下的温度场演化做出分析预测，将开采井温度降低1℃设定为发生热突破，据此进行采灌方案优化，并对回灌井周边低温区域的温度恢复热量来源进行讨论。
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3.2.1 采灌井周边地温场预测
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在研究区现有采灌井的布局基础上，根据示范工程采灌井DZ-001和DZ-001h实际采灌量（图4a、d），计算从1997年开始开采至2097年时采灌井周边地温场的变化情况，预测开采井的热突破时间。绘制距离顶板和回灌井不同距离处储层内部点的温度变化历时图，研究采灌井周边储层的温度恢复情况，选取的点位如图6所示。
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3.2.2 现有对井采灌系统优化
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在研究区内示范工程采灌井DZ-001和DZ-001h已有采灌条件的基础上，保持2022年前实际的采灌量Q不变，调整2022年之后的回灌量。将2022年之后供暖季的采灌井流量Q分别设置为30 m3/h、50 m3/h、70 m3/h、90 m3/h和110 m3/h，计算冷水回灌至储层后的水热运移过程和开采井的温度变化，优化对井采灌系统的采灌量。
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图3 德城区模型地层结构图
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Fig.3 Diagram of model stratigraphic structure in Decheng District
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图4 德城区内开采井与回灌井流量图
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Fig.4 Flow diagram of production well and reinjection well in Decheng District
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（a）—示范工程开采井DZ-001流量函数图；（b）—丰泽园小区开采井DZ-022-1流量函数图；（c）—华宇职业学院关停井T-34流量函数图；（d）—示范工程回灌井DZ-001h流量函数图
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（a）—flow function diagram of demonstration project production well DZ-001; （b）—flow function diagram of production well DZ-022-1 in Fengzeyuan community; （c）—flow function diagram of suspended well T-34 in Shandong Huayu University of Technology; （d）—flow function diagram of demonstration project reinjection well DZ-001h
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3.2.3 拟建对井采灌系统优化
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拟建对井采灌系统相较于已建对井采灌系统，可以调节的回灌参数增加采灌井间距R一项，因此在现有德城区对井采灌系统平均采灌量的基础上，进行采灌井间距R的优化。保持德城区对井采灌系统平均采灌量72 m3/h不变，将采灌井间距依次调整为100 m、150 m、200 m、250 m、300 m、350 m、400 m，计算冷水回灌至储层后的水热运移过程和开采井的温度变化，优化对井采灌系统的采灌井间距。
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4 结果
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4.1 模型参数
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选取研究区内4眼典型开采井DZ-001、DZ-005-1、DZ-121和DZ-127共4眼水位监测井的数据进行水动力学参数的拟合，拟合效果如图7所示。根据示范工程开采井DZ-001与回灌井DZ-001h测温数据进行模型的热物性参数拟合，拟合效果如图8所示，模拟计算值与实测值基本一致，精度基本达到要求，拟合得到的热储层水动力学参数和热物性参数见表1。
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4.2 采灌井周边地温场演化
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回灌井和开采井的取水段均位于新近系馆陶组中下段，因此采灌过程引起的水热运移变化对该段地层影响较大，示范工程垂向温度变化云图如图9所示。
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由于底砾岩层（馆陶组中下段砂岩层3）的存在，回灌低温冷水在储层底部运移速度最快，其影响范围随采灌过程的进行逐渐扩展。在2022年，即运行第6年时，热储层内部回灌低温冷水的影响范围未扩展到开采井附近；在2047年，运行第30年时，馆陶组中下段砂岩层1和3内回灌低温冷水的影响范围已经扩展到开采井附近；在2072年，运行第55年时，馆陶组中下段砂岩层2内回灌低温冷水的影响范围也扩展到开采井附近；随着地热对井采灌系统的继续运行，开采井附近的温度不断降低。在回灌井周边的热储层顶底板内，分别形成了两个低温区域的降落漏斗，并随着回灌过程的持续，不断在垂向上扩展，运行第100年时（图9d），储层底板的低温降落漏斗最深处已到达底板下125 m，储层顶板的低温降落漏斗最大已影响到顶板以上140 m。
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图5 德城区模型网格剖分图
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Fig.5 Grid subdivision of the Decheng District model
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图6 德城区示范工程回灌井DZ-001h馆陶组中下段砂岩层1内温度监测点位图
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Fig.6 Schematic diagram of temperature monitoring points in sandstone layer 1 of the middle and lower member of Guantao Formation around demonstration project reinjection well DZ-001h in Decheng District
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图7 德城区监测井水位动态拟合图
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Fig.7 Hydrodynamic fitting diagram of monitoring well in Decheng District
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（a）—示范工程开采井DZ-001水位拟合图；（b）—新园公寓开采井DZ-005-1水位拟合图；（c）—水文队新办公区开采井DZ-127水位拟合图；（d）—中茂家园开采井DZ-121水位拟合图；+值表示自流高度；-值表示水位埋深
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（a）—water level fitting diagram of the demonstration project production well DZ-001； （b）—water level fitting diagram of the production well DZ-005-1 in Xinyuan Apartment； （c）—water level fitting diagram of the production well DZ-127 in New Office Area for the Hydrology Team; (d) —water level fitting diagram of the production well DZ-121 in Zhongmao Community; +value represents artesian height; —-value represents buried depth of water level
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回灌井周边馆陶组中下段砂岩层1内不同监测点的温度变化情况如图10所示。从竖向看，监测点A1由于紧邻回灌段且距离盖层最远，最先受到回灌冷水的影响，并且回灌停止时未产生温度恢复，而随着距离回灌段越来越远，如图10a~d所示，从监测点A2开始出现温度恢复，随着距离盖层越来越近温度恢复的幅度越来越大，可以产生温度恢复的时间也不断延长。因此在回灌井附近区域，含水层可以从顶底板获取热量的范围仅为距离顶底板大约10 m距离之内，且随着回灌的持续进行，温度的恢复量逐渐减小并最终接近回灌冷水温度。从横向上来看，如图10d~g所示，随A1~D1点距离回灌井的距离越来越远，温度开始出现降低的时间逐渐延后，可以发生温度恢复的年份也在增加，但随着冷锋面不断向外扩展，各监测点温度也会最终接近回灌温度。
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图8 德城区示范工程回灌井DZ-001h温度动态拟合图
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Fig.8 Temperature dynamic fitting diagram of demonstration project reinjection well DZ-001h in Decheng District
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（a）—储层竖向温度变化；（b）—点1445 m（泥岩层3内）温度历时；（c）—点1325 m（砂岩层1内）温度历时
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（a）—vertical temperature variation of reservoir； （b）—temperature duration at point 1445 m (mudstone layer 3) ； （c）—temperature duration at point 1325 m （inside sandstone layer 1）
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4.3 对井采灌系统优化
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4.3.1 现有对井采灌系统优化
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计算不同采灌井流量Q时对井采灌系统的温度变化，绘制系统运行第100年时馆陶组中下段砂岩层3中部的温度云图如图11所示。随着采灌量Q的增加，低温区域面积的扩展速度迅速增大，而且以开采井为中心的低温区域的面积大小直接影响开采井出水温度的变化，开采井DZ-001的温度变化历时曲线如图12所示。当回灌量从30 m3/h逐渐增大到110 m3/h，开采井出水温度开始降低的时间和热突破时间逐渐提前，开采井水温降低的速率迅速增大。要保证开采井在运行100年内不发生热突破，2022年之后的采灌量应小于30 m3/h。
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4.3.2 拟建对井采灌系统优化
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当采灌量为72 m3/h，运行100年后馆陶组中下段砂岩层3中部的温度云图如图13所示。随着采灌井间距R的增加，以开采井为中心的低温区域范围逐渐减小。采灌井间距100 m时，回灌冷水在回灌100年后早已影响到开采井，而采灌井间距增大到300 m时，回灌冷水的影响范围在回灌100年时刚到达开采井。开采井附近低温区域的范围大小直接影响开采井出水温度的变化（图14），当采灌井间距从100 m逐渐增大到350 m，开采井出水温度开始降低的时间推迟明显，开采井水温降低的幅度也迅速减小。将开采井水温降低1℃视为发生热突破，绘制采灌量分别为72 m3/h、90 m3/h、110 m3/h和130 m3/h时，不同采灌井间距对应的热突破时间散点图，并进行公式拟合，如图15和式（6）所示，拟合效果R2均大于0.997。
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图9 德城区示范工程开采井DZ-001及回灌井DZ-001h温度场变化图（a~d）
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Fig.9 Temperature field variation of production well DZ-001 and reinjection well DZ-001h of demonstration project in Decheng District （a~d）
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采灌井间距180 m，回灌温度35℃
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Distance R between the production and reinjection well is 180 m, reinjection temperature is 35℃
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式中，tQ 为开采井的热突破时间（a）; 下标Q 表示采灌量为Q 时; R 为采灌井间距（m）; a 为比例系数，其值见表2。
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开采井的热突破时间t随采灌井间距R的增大而增大，开采井热突破时间t与采灌井间距R呈幂函数关系，幂指数为2.4，比例系数a的值随采灌量的增大而减小，表明开采井的热突破时间t随采灌量Q的增大而减小。要保证开采井在运行100年内不发生热突破，采灌量为72 m3/h时，合理采灌井间距R应不小于300 m。当采灌量Q增大时，合理采灌井间距也应相应增大。
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5 讨论
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回灌冷水温度恢复的热量来源有以下几方面（图16），一是来自于底板大地热流传导的传导热量，二是顶板非回灌段相对高温地层传导的热量，三是回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热，四是回灌冷水体与其外围热水体同层对流热，五是回灌冷水体内部热储介质释放热。前人已针对以上热量来源进行了一定程度的定性和定量分析（刘志涛等，2019），但缺乏对所有来源的定量计算。本次我们通过以上建立的合理采灌对井系统的数值模型，采灌量和采灌井间距分别设置为72 m3/h和300 m，定量计算每部分热量来源在热储温度恢复中所发挥的作用。
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5.1 热储层顶底板传导热
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在回灌条件下，回灌井周边热储温度大幅降低，此时热储与顶部盖层和底部基岩之间存在较大温差，热储顶底板岩石中的热量向热储层传导，储存在岩石中的热量被不断开采出来。
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5.1.1 热储层顶板传导热
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首先确定热储层与热储层顶板岩石间产生热传导的面积。存在温差、形成地温梯度，驱动热量从高温顶板向热储冷水体热传导，因此回灌冷水的冷锋面影响范围面积即为热储层与顶板产生热传导的面积（图17）。
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随着回灌的不断进行，进入热储层的冷水体积越来越大，与顶板的接触面积不断增大，因此热储层冷水体从顶板汲取的传导热量也不断增加。由于上部岩层中所含的热量被不断消耗且缺乏补给来源，尽管热传导的面积在不断增大，热储层顶板每月传导热量的增长速率却在逐渐降低（图18）。对顶板热传导的热量进行时间积分，得到热储层顶板总传导热量随时间的变化曲线（图19）。
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图10 德城区示范工程回灌井DZ-001h周边馆陶组中下段砂岩层1温度研究点位温度历时曲线图（a~g）
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Fig.10 Temperature variation diagram of monitoring points in sandstone layer 1 of the middle and lower members of Guantao Formation around the demonstration project reinjection well DZ-001h in Decheng District （a~g）
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采灌井间距180 m，回灌温度35℃，监测点位置见图6
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Distance R between the production and reinjection well is 180 m, reinjection temperature is 35℃, and the location of monitoring points is shown in Fig.6
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5.1.2 热储层底板传导热
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采用同样的方法计算热储层底板传导热的大小。热储层底板岩石对热储层的传导热量变化趋势与顶板处相同，都是随着回灌的进行，回灌冷水体与底板的接触面积不断增大，热储层底板的传导热也在不断增加，但单位时间内储层底板的传导热量绝对值始终大于顶板（图20）。同样对底板传导的热量进行时间积分，得到热储层底板总传导热量随时间的变化曲线（图21）。同样100年时，热储层顶板的总传导热为1.73×1014 J，热储层底板的总传导热为2.88×1014 J，底板的总传导热为顶板的1.66倍。即在热储层回灌冷水体与顶底板温差形成的地温梯度驱动下，热储层回灌冷水体100年从顶底板汲取的总传导热量为4.61×1014 J。
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5.2 回灌冷水体内部热储介质释放热
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在回灌条件下，回灌冷水进入热储层多孔介质孔隙中，由于孔隙中的冷水和多孔介质间存在温度差、形成地温梯度，驱动多孔介质中的热量迅速向冷水传导，直至达到温度平衡。随着回灌的持续，多孔介质中储存的热量被不断传递至回灌冷水体。假定回灌冷水与多孔介质瞬间达到热平衡，此时热储层内被冷水体占据的体积如图22所示。
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图11 德城区不同采灌量Q条件下示范工程采灌井DZ-001和DZ-001h温度场变化图（a~e）
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Fig.11 Variation of temperature field in DZ-001 and DZ-001h of demonstration project production and reinjection wells under different production and reinjection flow rate Q in Decheng District （a~e）
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采灌井间距180 m，回灌温度35℃
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Distance R between the production and reinjection well is 180 m, reinjection temperature is 35℃
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图12 德城区不同采灌量Q条件下示范工程开采井 DZ-001出水温度变化图
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Fig.12 Variation of effluent temperature of demonstration project well DZ-001 under different production and reinjection flow rate Q in Decheng District
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采灌井间距180 m，回灌温度35℃
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Distance R between the production and reinjection well is 180 m, reinjection temperature is 35℃
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随着回灌的进行，冷水进入热储层后占据的体积也在不断扩展，回灌井周边热储介质中储存的热量被不断开采出来，从热储层温度降低区域多孔介质中开采出的热量按照式（7）计算。
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式中，Qs为回灌冷水体内部热储介质释放热（J）；分别为多孔介质基体的平均比热容和密度（J/（kg·℃）、kg/m3）；Vde为回灌冷水体体积（m3）；为回灌冷水体的平均孔隙度；为热储层初始平均温度（℃），为回灌冷水体的平均温度（℃）。
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计算结果如图23所示，随着回灌的持续进行，热储层内回灌冷水体体积不断扩展，在热储层回灌冷水体与热储层多孔介质基质温差的驱动下，100年时，热储层回灌冷水体从多孔介质基质中汲取的总传导热量为2.97×1014 J。
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5.3 回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热
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由于回灌的持续进行，热储层中回灌的冷水体积不断增大，冷水体与其外围高温热储介质的交界面存在较大温差，这个交界面即为热储层内部产生同层热传导的面积（图24）。
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图13 德城区不同采灌井间距R条件下温度场变化图（a~f）
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Fig.13 Temperature field variation of different distance R between the production and reinjection wells in Decheng District （a~f）
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采灌量72 m3/h，回灌温度35℃
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Production and reinjection flow rate is 72 m3/h, reinjection temperature is 35℃
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图14 德城区不同采灌井间距条件下示范工程开采井出水温度变化图
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Fig.14 Variation diagram of water outlet temperature in production well of demonstration project under different distance R between the production and reinjection wells in Decheng District
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采灌量72 m3/h，回灌温度35℃
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Production and reinjection flow rate is 72 m3/h, reinjection temperature is 35℃
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图15 德城区不同采灌量条件下采灌井间距和开采井热突破时间关系图
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Fig.15 Relationship diagram of distance R between the production and reinjection wells and thermal breakthrough time t under different production and reinjection flow rate in Decheng District
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回灌温度35℃
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Reinjection temperature is 35℃
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图16 德城区馆陶组砂岩热储内回灌冷水体温度恢复热量来源示意图
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Fig.16 Schematic diagram of heat source of reinjection cold water temperature recovery of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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图17 德城区馆陶组热储顶板热传导范围变化历时图（a~d）
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Fig.17 Duration of roof heat conduction range of Guantao Formation reservoir in Decheng District （a~d）
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采灌井间距300 m，采灌量72 m3/h，回灌温度35℃
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Distance R between the production and reinjection well is 300 m, production and reinjection flow rate is 72 m3/h, reinjection temperature is 35℃
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随着回灌的持续进行，回灌冷水与同层相对高温热储产生热传导的面积在不断增加。同时，随着冷热水热交换的持续进行，回灌冷水体锋面处的温度梯度迅速降低。根据式（8）计算回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热量，得到累积同层传导热量历时曲线（图25）。在热储层回灌冷水体与交界面外围热储层温差的驱动下，100年时，热储层回灌冷水体从外围热储层中汲取的总传导热量为2.01×1014 J。
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式中，Qc为回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热量（J）；k为热储层岩石的导热系数（W/（m·℃）），取1.72 W/（m·℃）；A为热储层中同层热传导的面积（m2）；为回灌冷水体锋面处的温度梯度（℃/m）。
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5.4 回灌冷水体与其外围热水体同层对流热
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由于回灌冷水与其外围热水体间存在温度差，造成冷热水交界面上的密度差，密度差引起压力梯度驱动的热对流。并且采灌井的开采和回灌是间断性的，采灌井周边水位的周期性升高与降落引起冷热水交界面处热对流更加复杂，难以直接计算。因此采用间接计算的方法，通过回灌流体的总内能增加量减热传导的热量，即为回灌冷水体与其外围热水体同层对流热。
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图18 德城区馆陶组热储层顶板月传导热量历时曲线
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Fig.18 Duration curve of monthly roof conduction heat of reservoir of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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图19 德城区馆陶组热储层顶板总传导热历时曲线
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Fig.19 Duration curve of total roof conduction heat of reservoir of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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回灌冷水按照72 m3/h的速率回灌，每年开采120天，开采100年。将回灌流体分为热储层温度降低区域和已被加热至热储层原始温度两部分，分别计算吸收的热量大小。回灌冷水体内流体吸收的热量根据式（9）计算。回灌冷水的总体积减回灌冷水体内流体的体积即为已被加热至热储层原始温度的流体体积，因此按照式（10）计算这部分流体的内能增加量，计算结果如图26所示。回灌流体的总内能增加量即为二者之和，100年时，回灌流体增加的总内能为1.50×1015 J，其中回灌冷水体内流体吸收的热量为0.45×1015 J，已被加热至热储层原始温度的流体吸收的热量为1.05×1015 J。
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图20 德城区馆陶组热储层底板月传导热量历时曲线
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Fig.20 Duration curve of monthly floor conduction heat of reservoir of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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图21 德城区馆陶组热储层底板总传导热历时曲线
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Fig.21 Duration curve of total floor conduction heat of reservoir of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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回灌流体的总内能增加量减去热储层顶底板传导热、回灌冷水体内部热储介质释放热和回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热，即为回灌冷水体与其外围热水体同层对流热。计算结果如图27所示，到100年时，热储层通过回灌冷水体与其外围热水体对流汲取的总热量为5.40×1014 J。
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式中，Qde为回灌冷水体内流体吸收的热量（J）；Qex为已被加热至热储层原始温度的回灌流体吸收的热量（J）；cf为回灌水的比热容（J/（kg·℃））；ρf为回灌水的密度（kg/m3）；Tin为回灌水的温度（℃），取35℃；Tout为热储层的平均温度（℃），取55.0℃。
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图22 德城区馆陶组热储层内回灌冷水体体积变化图（a~d）
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Fig.22 Volume change of reinjection cold water in reservoir of Guantao Formation reservoir in Decheng District （a~d）
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采灌井间距300 m，采灌量72 m3/h，回灌温度35℃
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Distance R between the production and reinjection well is 300 m, production and reinjection flow rate is 72 m3/h, reinjection temperature is 35℃
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图23 德城区馆陶组砂岩热储内回灌冷水体内部热储介质累积释放热历时曲线
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Fig.23 Duration curve of cumulative heat release of reservoir medium in reinjection cold water of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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回灌冷水温度恢复的各项热量来源占比变化如图28所示，回灌冷水体与其外围热水体同层对流热在开始回灌时占比可以达到70%以上，然后占比逐渐下降，至回灌100年时，占比下降到36%；热储层顶底面的传导热占比变化趋势基本相同，都是在逐渐增大，开始回灌到回灌100年，顶底面传导的热量占比分别从接近0增大到11.5%和19.2%；回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热占比在开始回灌后从接近0迅速增大，达到最大值13.5%后保持稳定；回灌冷水体内部热储介质释放热占比相对变化较小，成略微降低的状态，开始回灌到回灌100年，从25.4%缓慢降低到19.8%。
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综上所述，在回灌冷水温度恢复的各项热量来源中，回灌冷水体与其外围热水体的同层对流热为占比最大的热量恢复来源，回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层传导热为占比最小的热量恢复来源。因此，决定回灌条件下热储状态的最重要参数为同层对流热大小，同层传导热对热储状态的影响程度最小。同层传导热的大小主要由储层的导热系数决定，因此相对其他参数，储层导热系数的变化对于热储状态的影响程度最小，对于开采井的热突破时间影响程度也最小，符合先前研究中岩石导热系数对储层温度场的演化起着次要作用的结论（Watanabe et al.，2010）。
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6 结论
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本文通过建立的竖向非均质热储对井采灌系统水-热耦合数值模型，研究了冷水回灌引起的竖向非均质热储内温度场的演化趋势，并对现有和拟建对井采灌系统的采灌量和采灌井间距两个设计参数进行了优化，最后讨论回灌冷水温度恢复的热量来源并进行定量计算，得到结论如下。
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图24 德城区馆陶组砂岩热储内回灌冷水体锋面与其外围热储介质的交界面面积变化图（a~d）
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Fig.24 Interface area variation of the reinjection cold water front and its peripheral reservoir medium of Guantao Formation reservoir in Decheng District （a~d）
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采灌井间距300 m，采灌量72 m3/h，回灌温度35℃
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Distance R between the production and reinjection well is 300 m, production and reinjection flow rate is 72 m3/h, reinjection temperature is 35℃
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图25 德城区馆陶组砂岩热储内回灌冷水体锋面与其外围热储介质同层累积传导热历时曲线
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Fig.25 Duration curve of cumulative conduction heat at reinjection cold water front and its peripheral reservoir medium in the same layer of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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（1）回灌低温冷水的影响范围随采灌过程的进行逐渐扩展，在馆陶组热储层底部的底砾岩层内运移速度最快，冷水最先沿底砾岩层到达开采井造成开采井的热突破。
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图26 德城区馆陶组砂岩热储内回灌流体吸收热量历时曲线
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Fig.26 Duration curve of reinjection fluid heat absorption of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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（2）在回灌井井筒附近区域，回灌冷水可以从热储层顶底板获取热量的范围仅为距离顶底板大约10 m距离之内，距离回灌井井筒的横向距离越远，温度开始出现降低的时间逐渐延后，可以产生温度恢复的年份也在增加，但随着冷锋面不断向外扩展，各监测点温度也会最终接近回灌温度。
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图27 德城区馆陶组砂岩热储内回灌冷水体与其外围热水体同层对流热历时曲线
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Fig.27 Duration curve of convective heat of reinjection cold water and its peripheral hot water in the same layer of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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图28 德城区馆陶组砂岩热储内回灌冷水温度恢复来源占比图
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Fig.28 Ratio of heat source of reinjection cold water temperature recovery of Guantao Formation reservoir in Decheng District
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（3）采灌井间距为180 m的采灌系统运行100年不发生热突破的采灌量应不大于30 m3/h；拟建对井采灌系统的采灌量设计为常规值72 m3/h时，合理采灌井间距应不小于300 m。在一定的采灌量条件下开采井的热突破时间t随采灌井间距R的增大呈幂函数关系增长，相关方程为 tQ=aR2.4，比例系数a随采灌量的增大而减小，表明开采井的热突破时间t随采灌量Q的增大而减小。
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（4）回灌冷水温度恢复的热量来源中，回灌冷水体与其外围热水体同层对流热为占比最大的热量恢复来源，开始回灌时占比达到70%以上，逐渐减小至回灌100年时的36.0%；回灌冷水体从热储层盖层和底板汲取的传导热占比分别从开始回灌时的接近0逐渐增大至回灌100年时的11.5%和19.2%；回灌冷水体从外围热储介质汲取的同层传导热占比从开始回灌时的接近0迅速增大至13.5%并保持稳定；回灌冷水体从内部热储介质汲取的热量占比从开始回灌时的25.4%逐渐降低到到回灌100年时的19.8%。
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致谢：感谢山东省地矿局第二水文地质工程地质大队（山东省鲁北地质工程勘察院）的软件和数据支持，感谢各位审稿专家和编辑在审稿过程中对本文提出的宝贵修改意见！
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摘要
合理优化对井采灌系统的采灌参数，定量计算回灌冷水温度恢复的热量来源，对地热资源可持续开发利用具有重要意义。本文基于对井采灌系统长期水动力场和地温场的动态变化监测数据，建立馆陶组热储层对井采灌系统的水-热耦合数值模型，研究冷水回灌引起的热储内温度场的演化规律与趋势，并对对井采灌系统的关键参数进行优化，定量计算回灌冷水温度恢复的热量来源。结果显示回灌低温冷水在馆陶组储层底部的底砾岩内运移速度最快，要保证现有采灌井距为180 m的采灌系统运行100年不发生热突破，采灌量应不大于30 m3/h；拟建对井采灌系统的采灌量设计为常规值72 m3/h时，合理采灌井距应不小于300 m。开采井的热突破时间t随采灌井间距R的增大呈幂函数关系增长，相关方程为tQ=aR2.4，比例系数a随采灌量的增大而减小。回灌冷水温度恢复的热量来源分析表明，回灌冷水体与其外围热水体的同层对流热为占比最大的热量恢复来源，从开始回灌时的大于70%降低至回灌100年时的36.0%；回灌冷水体从热储顶板和底板汲取的传导热占比从开始回灌时的接近0增大至100年时的30.7%（顶板11.5%，底板19.2%）；回灌冷水体从外围热储介质汲取的同层传导热占比从开始回灌时接近0迅速增大至13.5%并保持稳定；回灌冷水体从内部热储介质中汲取的热量占比从开始回灌时的25.4%缓慢降低至回灌100年时的19.8%。
Abstract
Optimizing the production and reinjection parameters of a “doublet” system is of significant importance for the sustainable development and utilization of geothermal resources in sandstone thermal reservoirs. This system, consisting of a closed loop with one production well and one reinjection well, plays a vital role in the temperature recovery of reinjected cooled geothermal water. In this research paper, we establish a hydro-thermal coupling numerical model for the “doublet” system based on the long-term hydrodynamic and geo-temperature monitoring data from the production and reinjection wells at the Guantao Formation thermal reservoir. Our study focuses on understanding the evolution and trend of the temperature field in the thermal reservoir caused by reinjected cooled geothermal water. Additionally, we aim to optimize the key parameters of both the existing and planned “doublet” systems. Furthermore, we investigate the heat sources contributing to the temperature recovery of the reinjected cooled geothermal water and provide a quantitative calculation. The findings reveal that the basal conglomerate at the bottom of the Guantao Formation reservoir, with its high permeability, exhibits the fastest migration rate for reinjected cooled geothermal water. To ensure the absence of thermal breakthrough in the production well of a typical “doublet” system within 100 years of operation, the production and reinjection flow rate Q should not exceed 30 m3/h. When the production and reinjection flow rate Q of the proposed “doublet” system is designed with a conventional value of 72 m3/h, the reasonable distance R between the production and reinjection wells should not be less than 300 m. The thermal breakthrough time t in the production well increases as a power function with the increase in the distance R, as described by the correlation equation tQ=aR2.4. Examining the heat sources contributing to the temperature recovery of reinjection cooled geothermal water, the analysis indicates that the convection heat between the reinjection cooled geothermal water and its peripheral hot geothermal water in the same layer is the source of heat recovery with the largest proportion, accounting for more than 70% at the beginning of reinjection and remaining at 36.0% after 100 years of reinjection. The proportion of conduction heat absorbed by cold water from the roof and floor of the reservoir increases from nearly 0% to 30.7% (roof: 11.5%, floor: 19.2%) in 100 years of reinjection. The proportion of conduction heat in the same layer absorbed by the reinjected cold water from the peripheral heat reservoir media increases rapidly from nearly 0% to 13.5% and then stabilizes. The proportion of heat absorbed by the cooled geothermal water from the internal reservoir medium gradually decreased from 25.4% at the beginning of reinjection to 19.8% at 100 years of reinjection.
